Bài toán hai xe ô tô khởi hành cùng lúc: Chinh phục mọi quãng đường
Khi nói đến các bài toán về chuyển động trong chương trình Toán học Lớp 9, chủ đề “hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc” luôn thu hút sự chú ý của học sinh. Các bài toán này không chỉ rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình mà còn phát triển tư duy logic, khả năng phân tích tình huống thực tế. Điển hình là bài toán hai xe ô tô khởi hành cùng lúc từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 312 km, với những yếu tố về vận tốc và thời gian di chuyển khác nhau, đòi hỏi người giải phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học.
Phân tích chi tiết bài toán hai xe ô tô khởi hành cùng lúc
Bài toán gốc đặt ra một tình huống cụ thể: hai xe ô tô cùng xuất phát từ thành phố A đi đến thành phố B, một quãng đường dài 312 km. Điểm mấu chốt của bài toán nằm ở sự chênh lệch về vận tốc và thời gian giữa hai xe. Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 4 km/h và đến đích sớm hơn 30 phút. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần xác định rõ các đại lượng đã biết và chưa biết, từ đó thiết lập mối quan hệ giữa chúng.
Các yếu tố đã biết:
- Quãng đường từ thành phố A đến thành phố B: 312 km.
- Chênh lệch vận tốc giữa hai xe: Xe thứ nhất nhanh hơn xe thứ hai 4 km/h.
- Chênh lệch thời gian đến đích: Xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai 30 phút (tương đương 0.5 giờ).
Các yếu tố cần tìm:
- Vận tốc của mỗi xe.
Phương pháp giải bài toán hai xe ô tô khởi hành cùng lúc
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp lập phương trình dựa trên mối quan hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian. Cách tiếp cận phổ biến nhất là đặt ẩn cho một trong các đại lượng chưa biết và biểu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn đó.
Bước 1: Đặt ẩn và biểu diễn các đại lượng
Giả sử vận tốc của xe thứ hai là (x) km/h (với điều kiện (x > 0)).
Dựa vào thông tin bài toán, ta có thể suy ra:
- Vận tốc của xe thứ nhất: (x + 4) km/h.
- Thời gian để xe thứ hai đi hết quãng đường AB: (t_2 = frac{312}{x}) giờ.
- Thời gian để xe thứ nhất đi hết quãng đường AB: (t_1 = frac{312}{x + 4}) giờ.
Bước 2: Lập phương trình dựa trên sự chênh lệch thời gian
Theo đề bài, xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 30 phút, tức là 0.5 giờ. Điều này có nghĩa là thời gian của xe thứ hai đi hết quãng đường AB nhiều hơn thời gian của xe thứ nhất. Ta có phương trình:
$$t_2 – t_1 = 0.5$$
Thay các biểu thức thời gian đã tìm được vào phương trình, ta có:
$$frac{312}{x} – frac{312}{x + 4} = frac{1}{2}$$
Bước 3: Giải phương trình
Để giải phương trình trên, ta quy đồng mẫu số và tiến hành biến đổi:
Nhân cả hai vế với mẫu số chung là (2x(x+4)) (với điều kiện (x neq 0) và (x neq -4), điều này luôn đúng vì (x > 0)):
$$2 times 312(x+4) – 2 times 312x = x(x+4)$$
$$624(x+4) – 624x = x^2 + 4x$$
$$624x + 2496 – 624x = x^2 + 4x$$
$$2496 = x^2 + 4x$$
Chuyển vế để đưa về dạng phương trình bậc hai:
$$x^2 + 4x – 2496 = 0$$
Ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai (ax^2 + bx + c = 0), với (a=1), (b=4), (c=-2496).
Tính delta:
$$Delta = b^2 – 4ac = 4^2 – 4(1)(-2496) = 16 + 9984 = 10000$$
$$sqrt{Delta} = sqrt{10000} = 100$$
Tìm hai nghiệm của phương trình:
$$x_1 = frac{-b + sqrt{Delta}}{2a} = frac{-4 + 100}{2(1)} = frac{96}{2} = 48$$
$$x_2 = frac{-b – sqrt{Delta}}{2a} = frac{-4 – 100}{2(1)} = frac{-104}{2} = -52$$
Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận
Vì vận tốc phải là một giá trị dương, ta loại bỏ nghiệm (x_2 = -52).
Vậy, vận tốc của xe thứ hai là (x = 48) km/h.
Vận tốc của xe thứ nhất là (x + 4 = 48 + 4 = 52) km/h.
Kiểm tra lại:
- Thời gian xe thứ hai đi: (t_2 = frac{312}{48} = 6.5) giờ.
- Thời gian xe thứ nhất đi: (t_1 = frac{312}{52} = 6) giờ.
- Chênh lệch thời gian: (t_2 – t_1 = 6.5 – 6 = 0.5) giờ (chính xác là 30 phút).
Kết quả này hoàn toàn phù hợp với đề bài.
Vận dụng kiến thức để giải các bài toán tương tự
Bài toán này minh họa cách áp dụng các khái niệm cơ bản về chuyển động để giải quyết các vấn đề thực tế. Hiểu rõ mối quan hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian, cùng với kỹ năng giải phương trình bậc hai, sẽ giúp các em tự tin chinh phục các dạng bài tập tương tự. Website toyotaokayama.com.vn cung cấp nhiều kiến thức hữu ích về xe hơi, giúp bạn đọc có cái nhìn sâu sắc hơn về các khía cạnh kỹ thuật và ứng dụng của phương tiện giao thông, từ đó có thể đưa ra những quyết định thông minh khi lựa chọn và sử dụng xe.
